পোইসন বিতরণটি বিভিন্ন প্রক্রিয়া বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়, যেমন একটি সুইচবোর্ডে পৌঁছানো টেলিফোন কল বিতরণ, রোগীদের দ্বারা স্বাস্থ্যসেবা প্রতিষ্ঠানে পরিষেবাগুলির চাহিদা (প্রয়োজনীয়তা), ট্রাক এবং গাড়িতে আগতদের অন্তর্ভুক্ত টোল বুথ এবং ক্রসিংয়ে দুর্ঘটনার সংখ্যা। উদ্ধৃত উদাহরণগুলির মধ্যে একটি উপাদান সাধারণ রয়েছে, এগুলি একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে যা পূর্ণসংখ্যার মান (0,1,2,3,4,5 এবং আরও) ধরে নিয়েছে।
পোয়েসন ডিস্ট্রিবিউশনটির নাম সিমোন ডেনিস পোইসন (1781-1840), যিনি তাঁর জীবনের শেষভাগে করা গবেষণাগুলির উপর ভিত্তি করে এই বিতরণটি তৈরি করেছিলেন, নামানুসারে রাখা হয়েছে।
একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে অফিসে আগত রোগীর সংখ্যা 0,1,2,3,4,5 বা অন্য কোনও পুরো সংখ্যা হবে। একইভাবে, যদি দশ মিনিটের সময়কালে কোনও টোল বুথে আগত গাড়ির সংখ্যা গণনা করা হয় তবে নম্বরটি পূর্ণসংখ্যা হবে।
প্রক্রিয়াগুলির একটি বৈশিষ্ট্য যা একটি পয়সন সম্ভাব্যতা বন্টন উত্পাদন করে
পিক আওয়ারের সময় টোল বুথ দিয়ে যে পরিমাণ যানবাহন যায় তা পোয়েসন সম্ভাব্যতা বিতরণের বৈশিষ্ট্যগুলি উদাহরণ হিসাবে দেখায়।
পূর্ববর্তী ট্রাফিক ডেটা থেকে ভারী যানবাহনের প্রতি ঘন্টা গড় (গড়) যানবাহনের অনুমান করা যায়।
যদি আমরা ভারী ট্র্যাফিকের সময়গুলিকে প্রতিটি এক সেকেন্ডের পিরিয়ড (অন্তর)গুলিতে ভাগ করি তবে আমরা দেখতে পাব যে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সত্য:
ক) প্রতি সেকেন্ডে একটি গাড়ি যথাযথভাবে একটি বাড়িতে পৌঁছানোর সম্ভাবনা খুব কম সংখ্যক এবং প্রতিটি এক-দ্বিতীয় ব্যবধানের জন্য স্থির থাকে।
খ) দুই বা ততোধিক যানবাহন এক সেকেন্ডের ব্যবধানে আসার সম্ভাবনা এত কম যে আমরা এটিকে একটি শূন্য মান নির্ধারণ করতে পারি।
গ) প্রদত্ত এক সেকেন্ড ব্যবধানে আসা যানবাহনের সংখ্যা যখন ভারী ট্র্যাফিকের সময় এক-দ্বিতীয় ব্যবধান ঘটে তখন তার থেকে পৃথক।
ঘ) যে কোনও এক-দ্বিতীয় ব্যবধানে আগতদের সংখ্যা অন্য কোনও এক-দ্বিতীয় ব্যবধানে আগতদের সংখ্যার উপর নির্ভর করে না।
এখন, আমরা এই উদাহরণে বর্ণিত চারটি শর্ত থেকে শুরু করে সাধারণকরণ করতে পারি, যদি এই শর্তগুলি পূরণ হয় তবে আমরা সেগুলি বর্ণনা করার জন্য কোনও পোইসন সম্ভাব্যতা বিতরণের উপর নির্ভর করব।
পয়সন বিতরণ ব্যবহার করে সম্ভাবনার গণনা
পয়সন বিতরণ, যেমন আমরা উল্লেখ করেছি, নির্দিষ্ট প্রক্রিয়াগুলি বোঝায় যা একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে বর্ণনা করা যায়। X অক্ষরটি সাধারণত সেই পরিবর্তনশীলকে উপস্থাপন করে এবং পূর্ণসংখ্যার মানগুলিও ধরে নিতে পারে (0,1,2,3 ইত্যাদি..)। র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং ছোট হাতের অক্ষর এক্সটিকে বড় আকারের এক্সটি ধরে নিতে পারে এমন একটি নির্দিষ্ট মান নির্ধারণ করতে আমরা বড় হাতের অক্ষর এক্স ব্যবহার করি। পোইসন বিতরণে ঠিক x সংঘটন হওয়ার সম্ভাবনাটি সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
পি (এক্স) = এলএক্স * এল / এক্স!
lx = ল্যাম্বদা
(সময়ের ব্যবধানে প্রতি সংখ্যার সংখ্যার সংখ্যার পরিমাণ) পাওয়ার x এ উত্থাপিত হয়েছে।
এল = ই = 2.71828 নেতিবাচক ল্যাম্বডিয়ায় উত্থিত।
এক্স! = এক্স ফ্যাক্টরিয়াল।
উদাহরণ:
মনে করুন আমরা একটি খুব বিপজ্জনক ক্রুজ জাহাজের সুরক্ষা অনুসন্ধান করছি। পুলিশের ফাইলগুলি তার মধ্যে প্রতি মাসে গড়ে পাঁচটি দুর্ঘটনা নির্দেশ করে। পোইসন বিতরণ অনুযায়ী দুর্ঘটনার সংখ্যা বিতরণ করা হয় এবং হাইওয়ে সেফটি বিভাগ একটি নির্দিষ্ট মাসে ঠিক 0,1,2,3 এবং 4 টি দুর্ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করতে চায়।
উপরের সূত্র প্রয়োগ:
পি (0) = (5) 0 (ই -5) / 0! = 0.00674
পি (1) = (5) 1 (ই -5) / 1! = 0.03370
পি (2) = (5) 2 (ই -5) / 2! = 0.08425
পি (3) = (5) 3 (ই -5) / 3! = 0.14042
পি (4) = (5) 4 (ই -5) / 4! = 0.17552
কোনটি 3 বা তার কম সম্ভাবনা তা জানতে, আমরা 0,1,2,3 এর সম্ভাব্যতা যুক্ত করব যা এর সমান হবে:
পি (0) = 0.00674
পি (1) = 0.03370
পি (2) = 0.08425
পি (3) = 0.14042
পি (3 বা তার কম) = 0.26511
প্রদত্ত যে 3 বা তারও কম দুর্ঘটনার সম্ভাবনা 0.26511 হয় তবে তিনজনের বেশি হওয়ার সম্ভাবনা অবশ্যই = 1 –0.26511 = 0.73489 হয়।
দ্বিপদী বিতরণের একটি অনুমান হিসাবে পয়সন বিতরণ।
কখনও কখনও, আপনি দ্বিপদী বিতরণ গণনা করার ক্লান্তিকর কাজ এড়াতে চান, আপনি পরিবর্তে পোইসন ব্যবহার করতে পারেন, তবে আপনাকে অবশ্যই কিছু শর্ত পূরণ করতে হবে যেমন:
n => 20
পি = <0.05
এই ধরনের শর্তগুলি সন্তুষ্ট হলে, আমরা পইসন বিতরণের গড়ের পরিবর্তে দ্বিপদী বিতরণের অর্থকে বিকল্প হিসাবে তৈরি করতে পারি যাতে সূত্রটি দেখতে এইরকম হয়:
পি (এক্স) = (এনপি) এক্স * ই-এনপি / এক্স!
_____________
নিম্নলিখিত ভিডিওগুলির সাথে (এডুয়েটিনা - খান একাডেমি) আপনি অবশ্যই পোয়েসন বিতরণের ধারণাটি পুরোপুরি বুঝতে পারবেন।
